失業保険についてなんですが、今年の3月で今の職場が終わります。ただし、雇用保険基本手当（失業給付）の受給期間延長手続きをとった証明を求められるかも知れません。

失業保険についてなんですが、今年の3月で今の職場が終わります。初めから10月～3月までの期間限定の仕事でした。
この場合は、自己都合ではないので、失業保険はすぐ支給される対象になるのでしょうか？
１ヶ月間の平均出勤日数は20日で6ヶ月間は雇用保険は払っています。
雇用保険の規定が新しくなって、詳しいことがよくわからないので、よろしくお願いします。

19年10月からは、過去2年間に11日以上の賃金支払基礎日数がある月が12ヶ月以上必要となりました。

特定受給資格者となる会社都合退職であれば、過去1年間に11日以上の賃金支払基礎日数ある月が6ヶ月以上あれば受給資格があります。

6ヶ月の労働契約であっても契約の締結に際して更新されることが明示されていた場合において当該労働契約が更新されないこととなったことにより退職した場合は、「特定受給資格者の判断基準」Ⅱ⑧に該当し、6ヶ月でも受給資格はあります。
但し、この場合その延長又は更新する旨が雇入れ通知書等に記載されている場合であり、労働者が契約の更新を希望していたにもかかわらず、契約更新がなされなかった場合に限定されます。

上記の特定受給資格者に該当しなければ、3月までの会社の離職票1枚では受給資格はありません。
3月までの会社以前に使用していない離職票があり、過去2年間に被保険者期間が12ヶ月以上あるのであれば、受給資格があり、離職理由は、契約期間満了による退職となり、3ヶ月の給付制限期間は無く、7日の待期期間が満了すれば給付の対象になります。

よく勘違いされている方が多いのですが、上記のような例を除けば契約期間満了による退職というのは、会社都合退職にはなりません。
ちなみに3ヶ月の給付制限期間があるのは、正当な理由の無い自己都合退職の場合だけです。

親が病気で会社を退職した場合、自分の扶養（社会保険）には入れますか？
病気で今後働けない場合は、失業保険の請求もできませんよね。
ですので、今月以降の収入はゼロです。
（退職金はありますが。）
病気療養中なので、すぐにでも健康保険の手続きをしたいのですが、
待機期間（？）みたいなものはあるのでしょうか？

〉病気で会社を退職した
というだけでは判断がつきません。

〉今月以降の収入はゼロです。
傷病手当金は請求していないのですか？
退職までに1年以上健康保険に加入し、退職前に手当金を受けていたか、請求すれば受けられる状態になっていて、退職日が手当の支給対象であるのなら、退職後も受けられます。
任意継続するかどうかは関係ありません。
※逆に、条件を満たしていなければ任意継続しても受けられない。

あなたの被扶養者にできる条件は、
・収入を年額換算して130万円未満（60歳未満の場合）である（日額3611円以下）
※60歳以上の場合は180万円未満
・別居なら、あなたの仕送り額が、対象者の収入よりも多いこと。

〉待機期間（？）みたいなものはあるのでしょうか？
ありません。
ただし、雇用保険基本手当（失業給付）の受給期間延長手続きをとった証明を求められるかも知れません。

近く定年退職の予定です。

失業保険の認定日に行かなかったらどうなりますか？

その回の失業給付28日分がもらえないとして、
その分給付期間が後ろにずれるのでしょうか？
権利喪失なんて恐ろしいことがあるのでしょうか。

認定日に行かないと、その分が後ろにずれます。
ただし、失業給付は1年で時効になりますので、例えば9ヶ月貰える人が4回認定日をすっぽかすと、最後の方が1年オーバーの時効にかかって一部分もらえなくなります。